@phdthesis{oai:sucra.repo.nii.ac.jp:00010316,
 author = {菅野, 円隆},
 month = {},
 note = {iii, v, 213p, 戻り光を有する半導体レーザは時間遅延システムであり，高速で複雑なカオスを出力する．これまでに戻り光を有する半導体レーザを用いた様々な応用が研究されており，その1つとして高速物理乱数生成が挙げられる．これはレーザカオスに対してしきい値を設定して周期的にサンプリングすることで，0 と1 の2値乱数列を得る手法である．レーザカオスは数GHzの高速な振動成分を有するため，従来法よりも高速な物理乱数生成器を実装することができる．
　一方でレーザはコンシステンシーを示すことが知られている．コンシステンシーは同一の信号により繰り返し駆動された非線形システムが示す再現性のある振る舞いと定義される．これまでにレーザのコンシステンシーは実験的に観測されており，リザーバコンピューティングや物理的一方向性関数への応用が期待されている．
　これらの応用においてカオスの複雑性は重要な評価指標である．高速物理乱数生成におけるカオスの複雑性の評価は，生成された物理乱数のランダム性を理論的に保障するために重要である．カオスの複雑性を定量化する指標としてリアプノフ指数が挙げられる．リアプノフ指数は状態空間においてカオス時系列に与えられた微小揺らぎの指数関数的な拡大率を表し，高いリアプノフ指数を有するシステムは高い複雑性を有していると言える．
　しかしながら戻り光を有する半導体レーザのような時間遅延システムは無限次元を有するため，一般的なシステムとは状態空間の構成方法が異なり，戻り光を有する半導体レーザにおけるリアプノフ指数の算出はほとんど行われていない．一方で，Farmer により時間遅延ダイナミカルシステムにおいてリアプノフ指数を算出する方法が提案されている．しかしながらコンシステンシー状態での半導体レーザにおいてリアプノフ指数による複雑性の評価は行われておらず，特にコンシステンシーと複雑性の関係については全く分かっていないのが現状である．さらにアトラクタの局所的な不安定性を評価する指標として有限時間リアプノフ指数が提案されているが，時間遅延システムにおいて有限時間リアプノフ指数を算出する手法は確立されていない．
　そこで本研究では，時間遅延フィードバック光を有する半導体レーザカオスのリアプノフ指数の算出を行うことを目的とする．また光結合された戻り光を有する半導体レーザにおいてリアプノフ指数を用いて複雑性を定量化し，コンシステンシー状態の有無との関係を調査する．さらに時間遅延ダイナミカルシステムにおいて有限時間リアプノフ指数の算出手法を提案し，戻り光を有する半導体レーザに適用する．
　第１章では本研究の背景，目的および本論文の構成について述べている．
　第２章ではリアプノフ指数，コンシステンシー，半導体レーザの応用について述べている．
　第３章では本研究で用いる半導体レーザの数値モデルについて述べている．さらに戻り光を有する半導体レーザの基本的なダイナミクスとその数値的な調査方法について述べている．
　第４章では，戻り光を有する半導体レーザの複雑性をリアプノフスペクトラム解析により評価し，高速物理乱数生成への応用に適したレーザパラメータを調査している．リアプノフ指数から算出されたエントロピーと次元のパラメータ依存性を調査したところ，戻り光量および注入電流を最適化することで複雑性の向上が可能となることが明らかとなった．また内部パラメータとして，線幅増幅係数が大きく利得飽和係数が小さな半導体レーザを乱数源として用いることが，複雑性向上のために効果的であることが明らかとなった．
　第５章では，一方向に光結合された半導体レーザにおいてリアプノフ指数から算出されたエントロピーと次元を用いて複雑性を評価し，コンシステンシーとの関係について調査している．複雑性はコンシステンシーの有無に依存して３つの領域に分類されることが分かった．システムがコンシステンシー状態である時，複雑性は駆動用レーザと同程度まで低下した．コンシステンシー状態でない時の複雑性は結合が無い時と同程度となるが，コンシステンシー領域の境界付近では複雑性が増加することが明らかとなった．本研究により，コンシステンシーの有無が複雑性に大きく影響を与えることが初めて明らかとなった．
　第６章では，時間遅延システムにおける有限時間リアプノフ指数の算出手法を新たに提案し，戻り光を有する半導体レーザに本手法を適用している．初めに代表的な時間遅延システムであるマッキーグラスモデルに本手法を適用した．有限時間および遅延時間の変化に対して有限時間リアプノフ指数の確率分布の標準偏差の変化を調査した．その結果，標準偏差はべき乗則に従い減少し，べき指数はほぼ-0.5 となった．また戻り光を有する半導体レーザにおいて同様の調査を行った．有限時間リアプノフ指数の標準偏差は遅延時間の増加に対してべき乗則に従い減少するが，そのべき指数は-0.1 程度と小さな値となり，戻り光を有する半導体レーザは他の時間遅延システムとは異なる特徴を有することが明らかとなった．
　第７章では，戻り光を有する半導体レーザにおいて実験的にリアプノフ指数を算出する手法を提案し，その妥当性を数値計算により示している．その結果，本手法と線形化方程式を用いて算出された最大リアプノフ指数は概ね一致し，本手法の妥当性が示された．さらに戻り光を有する半導体レーザのリアプノフ指数による複雑性評価の応用として，半導体レーザカオスの周波数帯域および自己相関関数の増減と複雑性の関係性について調査を行っている．その結果，周波数帯域の増減と複雑性との関係性は低いが，一方で自己相関関数のセカンドピークの減少が最大リアプノフ指数の増加を示すことが分かった．
　第８章では本論文で得られた成果をまとめている．
　本研究で得られた知見は，半導体レーザを用いた高速物理乱数生成器の予測不可能性の定量化や，リザーバコンピューティングの情報容量推定への応用に有用であると期待される．, 概要 i
第 1 章 はじめに 1
1.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
第 2 章 序論 5
2.1 リアプノフ指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 コンシステンシー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 物理的一方向性関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 リザーバコンピューテイング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
第 3 章 戻り光を有する半導体レーザの数値モデルとダイナミクス 15
3.1 半導体レーザのレート方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 シングルモード半導体レーザのレート方程式 . . . . . . . . . 16
3.1.2 戻り光を付加した半導体レーザのレート方程式 . . . . . . . 21
3.1.3 複素電界E の電界振幅および電界位相への分離 . . . . . . . 22
3.1.4 複素電界E の実部および虚部への分離 . . . . . . . . . . . . 25
3.1.5 Lang-Kobayashi 方程式の無次元化 . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.6 飽和項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Lang-Kobayashi 方程式の定常解 (平衡点) と線形安定性解析 . . . . . 31
3.2.1 戻り光を持たないLang-Kobayashi 方程式の定常解の導出 . . 32
3.2.2 定常解に対する線形安定性解析 . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 戻り光を有するLang-Kobayashi 方程式の定常解の導出 . . . 41
3.3 戻り光を有する半導体レーザのダイナミクス . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 戻り光を有する半導体レーザの数値モデルと数値計算におけるパラメータ値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 戻り光強度の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 利得飽和効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第 4 章 戻り光を有する半導体レーザのリアプノフスペクトラム解析 65
4.1 戻り光を有する半導体レーザの数値モデルとレーザパラメータ . . . 65
4.2 一般的なシステムにおけるリアプノフ指数の算出手法 . . . . . . . . 67
4.2.1 リアプノフ指数の定義とQR 分解による算出手法 . . . . . . 67
4.2.2 グラム-シュミットの直交化を用いたQR 分解の方法 . . . . 70
4.3 Lang-Kobayashi 方程式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 戻り光を有する半導体レーザにおける最大リアプノフ指数の算出 . . 74
4.4.1 戻り光を有する半導体レーザにおける最大リアプノフ指数の算出手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.2 最大リアプノフ指数の算出結果 . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 戻り光を有する半導体レーザにおけるリアプノフスペクトラムの算出 78
4.5.1 リアプノフスペクトラムの算出手法 . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.2 リアプノフスペクトラムの算出結果 . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 リアプノフ指数を用いた複雑性の定量化 . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.1 KS エントロビーおよびKY 次元 . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6.2 複雑性の戻り光強度への依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6.3 複雑性の様々なパラメータへの依存性 . . . . . . . . . . . . 84
4.7 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
第 5 章 半導体レーザのコンシステンシーとリアプノフスペクトラム解析 89
5.1 結合レスラーモデルおよび結合マッキーグラスモデルにおけるコンシステンシー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.1 結合レスラーと結合マッキーグラスモデル . . . . . . . . . . 90
5.1.2 線形化方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3 リアプノフスペクトラムの算出手法 . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.4 結合レスラーシステムにおけるリアプノフスペクトラム解析の数値計算結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.5 結合マッキーグラスシステムにおけるリアプノフスペクトラム解析の数値計算結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 光結合された半導体レーザにおけるコンシステンシー . . . . . . . . 103
5.2.1 Response レーザの数値モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 Lang-Kobayashi 方程式の実部・虚部方程式への分離 . . . . 107
5.2.3 無次元化された結合Lang-Kobayashi 方程式 . . . . . . . . . 108
5.2.4 結合半導体レーザのコンシステンシーの数値計算結果 . . . . 110
5.3 光結合された半導体レーザにおけるリアプノフスペクトラム解析 . . 113
5.3.1 光結合されたLang-Kobayashi 方程式の線形化 . . . . . . . . 113
5.3.2 光結合された半導体レーザにおけるリアプノフ指数の算出手法118
5.3.3 リアプノフスペクトラム解析の数値計算結果 (光注入強度への複雑性の依存性) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.4 リアプノフスペクトラム解析の数値計算結果 (光周波数差への複雑性の依存性) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.5 2 次元パラメータ空間におけるコンシステンシーと複雑性 . . 123
5.3.6 考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
第 6 章 時間遅延システムにおける有限時間リアプノフ指数の算出手法の提案130
6.1 時間遅延ダイナミカルシステムにおける有限時間リアプノフ指数算出手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 マッキーグラスモデルの有限時間リアプノフ指数 . . . . . . . . . . 133
6.2.1 マッキーグラスモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.2 マッキーグラスモデルの有限時間リアプノフ指数の算出結果 133
6.3 戻り光を有する半導体レーザの有限時間リアプノフ指数 . . . . . . . 139
6.3.1 戻り光を有する半導体レーザモデル . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.2 Lang-Kobayashi 方程式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3.3 有限時間リアプノフ指数の数値計算結果 . . . . . . . . . . . 141
6.4 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
第 7 章 戻り光を有する半導体レーザのリアプノフスペクトラム解析の応用 149
7.1 戻り光を有する半導体レーザにおける一般化同期を用いたリアプノフ指数の推定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.1.1 時間遅延システムにおける完全同期を用いたリアプノフ指数の算出手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.1.2 戻り光を有する半導体レーザにおける完全同期と一般化同期 152
7.1.3 戻り光を有する半導体レーザにおける一般化同期を用いた最大リアプノフ指数の算出手法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.4 数値計算において使用する半導体レーザの数値モデル . . . . 156
7.1.5 一般化同期を用いた最大リアプノフ指数の推定の数値計算結果 159
7.1.6 線形化方程式を用いて算出された最大リアプノフ指数との比較 166
7.2 光結合された半導体レーザの周波数帯域および自己相関関数と複雑性増加現象の関係調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.1 半導体レーザモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2.2 周波数帯域の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2.3 自己相関関数の評価方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.2.4 Lang-Kobayashi 方程式の線形化と最大リアプノフ指数の算出方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.2.5 光結合された半導体レーザの周波数帯域と自己相関関数の変化 178
7.2.6 周波数帯域および自己相関関数の最大リアプノフ指数との比較 181
7.2.7 周波数帯域，自己相関関数のセカンドピーク，最大リアプノフ指数の2 次元図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2.8 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
第 8 章 結論 189
謝辞 193, 主指導教員 : 内田淳史, text, application/pdf},
 school = {埼玉大学},
 title = {時間遅延フィードバック光を有する半導体レーザカオスにおける複雑性解析},
 year = {2014},
 yomi = {カンノ, カズタカ}
}